$\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right|$ = কত ?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কটি হলো:

\[ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \]

একটি \(3 \times 3\) নির্ণায়কের মান বের করার সূত্র হলো:

\[ \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg) \]

এই সূত্র ব্যবহার করে প্রদত্ত নির্ণায়কের মান বের করা যাক:

প্রথমে, \(1\) এর জন্য সহগুণক নির্ণয় করি:

\( = 1 \times (5 \times 9 - 6 \times 8) \)
\( = 1 \times (45 - 48) \)
\( = 1 \times (-3) \)
\( = -3 \)

এরপর, \(2\) এর জন্য সহগুণক নির্ণয় করি (ঋণাত্মক চিহ্ন সহ):

\( = -2 \times (4 \times 9 - 6 \times 7) \)
\( = -2 \times (36 - 42) \)
\( = -2 \times (-6) \)
\( = 12 \)

অবশেষে, \(3\) এর জন্য সহগুণক নির্ণয় করি:

\( = 3 \times (4 \times 8 - 5 \times 7) \)
\( = 3 \times (32 - 35) \)
\( = 3 \times (-3) \)
\( = -9 \)

এখন, এই মানগুলো যোগ করি:

\( = -3 + 12 - 9 \)
\( = 9 - 9 \)
\( = 0 \)

অতএব, নির্ণায়কটির মান হলো \(0\)।

প্রদত্ত অপশনগুলো হলো 4, 3, 1। যেহেতু নির্ণায়কের মান \(0\), যা অপশনগুলোর মধ্যে নেই, তাই প্রদত্ত শর্ত বা তথ্য অনুযায়ী এখানে কোনো অপশনই সঠিক নয়।

💡 শর্টকাট টেকনিক:

আমরা নির্ণায়কের একটি গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম ব্যবহার করেও এর মান বের করতে পারি। যদি কোনো নির্ণায়কের দুটি সারি (row) বা কলাম (column) এর উপাদানগুলো সমান্তরাল প্রগেশনে (Arithmetic Progression) থাকে বা একটি সারি/কলাম অন্য সারি/কলামের রৈখিক যোগফল বা বিয়োগফল হয়, তবে সেই নির্ণায়কের মান \(0\) হয়।

এখানে, কলাম \(C_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix}\), \(C_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}\), \(C_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 9 \end{pmatrix}\)।

আমরা দেখতে পাচ্ছি:

    
• \(C_2 - C_1 = \begin{pmatrix} 2-1 \\ 5-4 \\ 8-7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)
    
• \(C_3 - C_2 = \begin{pmatrix} 3-2 \\ 6-5 \\ 9-8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

যেহেতু \(C_2 - C_1 = C_3 - C_2\), এর অর্থ হলো কলামগুলো সমান্তরাল প্রগেশনে আছে। অর্থাৎ, \(C_1, C_2, C_3\) রৈখিকভাবে নির্ভরশীল। এই ধরনের নির্ণায়কের মান সবসময় শূন্য হয়।

সুতরাং, নির্ণায়কটির মান \(0\)।